So sánh P và căn P

GiaiToan.com biên soạn và đăng tải tài liệu Bài tập Toán lớp 9So sánh P và căn P giúp học sinh hiểu rõ về các dạng toán rút gọn, ...Toán lớp 9nhanh và chính xác nhất. Chi tiết mời các em học sinh cùng tham khảo. Chúc các bạn học tập tốt!

I. Phương pháp So sánh biểu thức A với căn A

– Xác định điều kiện của x để A > 0

– So sánh A với 1

• Nếu 0 < A < 1 thì $\sqrt A > A$

• Nếu A > 1 thì $\sqrt A < A$

II. Bài tập So sánh biểu thức A với căn A

Ví dụ 1: Cho biểu thức: $A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{4x}}{{x - 4}}} \right):\dfrac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}$ với x ≥ 0; x ≠ 4

a) Rút gọn biểu thức

b) So sánh A và $\sqrt A$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{4x}}{{x - 4}}} \right):\dfrac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\\ A = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{4x}}{{x - 4}}} \right):\dfrac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} \end{array}$

b) Ta có: $A - 1 = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - 1 = \dfrac{{\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt x + 2}}$

Với x ≥ 0; x ≠ 4 thì $\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \,\sqrt x -2 \ge 2 > 0$

Mà – 2 < 0 $\Rightarrow A - 1 = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 2}} < 0 \Rightarrow A < 1$

Mặt khác: A ≥ 0 (với mọi x ≥ 0; x ≠ 4)

⇒ A . (A – 1) ≤ 0

⇒ A² – A ≤ 0

⇒ A² ≤ A

$\Leftrightarrow A \le \sqrt A$

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 4 thì $A \le \sqrt A$

Ví dụ 2: Cho biểu thức $A = \left[ {\left( {\dfrac{2}{{\sqrt x + 5}} - \dfrac{{15 - \sqrt x }}{{25 - x}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}} \right] - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ với x ≥ 0 và x ≠ 25

a) Rút gọn biểu thức A

b) So sánh A và A².

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} A = \left[ {\left( {\dfrac{2}{{\sqrt x + 5}} + \dfrac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}} \right] - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\\ A = \left[ {\left( {\dfrac{{2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} + \dfrac{{15 - \sqrt x }}{{25 - x}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}} \right] - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\\ A = \left[ {\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 10 + 15 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}} \right] - \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\\ A = \left( {\dfrac{{5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right) - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\\ A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \end{array}$

b) Do $x \ge 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} > \sqrt x \ge 0 \Rightarrow 0 \le \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} < 1 \Rightarrow A \ge {A^2}$

Vậy A ≥ A².

II. Bài tập tự luyện So sánh biểu thức A với căn A

Bài 1: Cho hai biểu thức $A=\left(\frac{2}{\sqrt{x}+5}-\frac{15-\sqrt{x}}{25-x}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ với x ≥ 0, x ≠ 25

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Đặt P = A – B. So sánh P và P².

Bài 2: Cho biểu thức $P=a:\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)$ với x > 0, x ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P và $\sqrt{P}$

----------------------------------------------

Tham khảo thêm:

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Không giải phương trình tính giá trị biểu thức
Cách giải hệ phương trình
Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất
Delta là gì? Cách tính delta và delta phẩy trong phương trình bậc hai