Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau. (Miễn phí)

Chứng minh những hệ thức:

a) $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$;

b) $1+{\cot }^{2}a=\frac{1}{{\sin }^{2}a}$.

Một người đứng bên trên tháp để ý của ngọn đèn biển cao 50 m coi về phía Tây Nam, người tê liệt để ý nhị phiên một chiến thuyền đang được thiên về ngọn đèn biển. Lần loại nhất người tê liệt bắt gặp thuyền với góc hạ là 20°, phiên thứ hai người tê liệt bắt gặp thuyền với góc hạ là 30°. Hỏi chiến thuyền đã từng đi được từng nào mét thân thiết nhị phiên quan tiền sát? (làm tròn trặn cho tới chữ số thập phân loại nhất)

Một mảnh đất nền hình chữ nhật bị xén cút một góc (hình vẽ), phần sót lại với hình dáng tứ giác ABCD với phỏng lâu năm những cạnh là AB = 15m, BC = 19m, CD = 10m, DA =  20m. Diện tích mảnh đất nền ABCD bởi vì từng nào mét vuông (làm tròn trặn sản phẩm cho tới mặt hàng đơn vị).    

Cho (O), điểm A ở bên phía ngoài đàng tròn trặn. Vẽ những tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C nằm trong phụ thuộc 1 đàng tròn trặn.

b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.

c) Gọi I là gửi gắm của BC và DE. Chứng minh AB² = AI.AH.

d) BH tách (O) ở K. Chứng minh AE // CK.

Cho đàng tròn trặn (O; R) và điểm A cố định và thắt chặt ngoài đàng tròn trặn. Vẽ đường thẳng liền mạch d vuông góc với OA bên trên A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF tách OM bên trên H, tách OA bên trên B.

a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.

b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R².

c) Chứng minh tâm I của đàng tròn trặn nội tiếp tam giác MEF nằm trong một đàng tròn trặn cố định và thắt chặt khi M dịch rời bên trên d.

d) Tìm địa điểm của M nhằm diện tích S tam giác HBO lớn số 1.

Cho đàng tròn trặn (O) chạc cung BC (BC ko là đàng kính). Điểm A địa hình bên trên cung nhỏ BC (A không giống B và C, phỏng lâu năm cạnh AB không giống AC). Kẻ 2 lần bán kính AA' của đàng tròn trặn (O), D là chân đàng vuông góc kẻ kể từ A cho tới BC. Hai điểm E, F theo lần lượt là chân đàng vuông góc kẻ kể từ B, C cho tới AA'.

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, D, E nằm trong phía trên 1 đàng tròn trặn.

b) Chứng minh BD.AC = AD.A'C.